Question

設(shè)函數(shù)y=x²-2x+2的圖象為C₁，函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象為C₂，已知過C₁和C₂的一個(gè)交點(diǎn)的兩切線互相垂直
（1）求a，b之間的關(guān)系；
（2）求ab的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)，利用垂直關(guān)系建立等式求解即可；
（2）直接根據(jù)基本不等式進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）設(shè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
C₁：y=x²-2x+2，y'=2x-2，該點(diǎn)斜率k₁=2x₀-2
C₂：y=-x²+ax+b，y'=-2x+a，該點(diǎn)斜率k₂=-2x₀+a
即k₁k₂=-1
∴（2x₀-2）（-2x₀+a）=-1，
又x₀²-2x₀+2=-x₀²+ax₀+b
上兩式消去x₀，得
a+b=

3

2

，
（2）∵a＞0，b＞0，a+b=

3

2

，
∵a+b≥2

ab

，
∴

ab

≤

3

4

∴ab≤

9

16

，
ab的最大值

9

16

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、切線方程及其求解方法等，屬于中檔題．