已知△ABC是邊長為3,4,5的直角三角形,點P是此三角形內(nèi)切圓上一動點,分別以PA、PB、PC為直徑作圓,則這三個圓的面積之和的最大值與最小值的和為( )
A.12π
B.10π
C.8π
D.6π
【答案】分析:由△ABC是邊長為3,4,5的直角三角形,點P是此三角形內(nèi)切圓上一動點,建立平面直角坐標系,求三個圓的面積之和的最大值與最小值的和,轉(zhuǎn)化為點P到三角形三個定點的距離的平方和的最值問題.
解答:解:建立坐標系 設(shè)A(3,0),B(0,4),C(0,0),P(x,y),△ABC內(nèi)切圓半徑為r.
∵三角形ABC面積 S=AB×AC=(AB+AC+BC)r=12,解得 r=1
即內(nèi)切圓圓心坐標為 (1,1)
∵P在內(nèi)切圓上
∴(x-1)2+(y-1)2=1
∵P點到A,B,C距離的平方和為 d=x2+y2+(x-3)2+y2+x2+(y-4)2=3(x-1)2+3(y-1)2-2y+19=22-2y
顯然 0≤y≤2 即 18≤d≤22,
即以PA,PB,PC為直徑的三個圓面積之和最大值為 最小值為
故選B.
點評:考查了解析法求最值,求三個圓的面積之和的最大值與最小值的和轉(zhuǎn)化為點P到三角形三個定點的距離的平方和的最值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法.
練習冊系列答案
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已知△ABC是邊長為1的正三角形,點D、E分別是邊AB、AC上的點,線段DE經(jīng)過△ABC的中心G,
AD
=p
AB
AE
=q
AC
(0<m≤1,0<n≤1)則
1
p
+
1
q
等于(  )
A、3B、2C、1.5D、1

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已知△ABC是邊長為3,4,5的直角三角形,點P是此三角形內(nèi)切圓上一動點,分別以PA、PB、PC為直徑作圓,則這三個圓的面積之和的最大值與最小值的和為( 。
A、12πB、10πC、8πD、6π

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已知△ABC是邊長為2a的正三角形,那么它的斜二側(cè)所畫直觀圖△A′B′C′的面積為( 。

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已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,D是BC邊上的一點,且
BD
=
1
2
DC
,則|
AD
-
BC
|
=
2
19
3
2
19
3

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已知△ABC是邊長為6的正三角形,求
AB
BC
=
 

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