已知a＞0，函數(shù)f（x）=x3-a，x∈[0，+∞），設(shè)x1＞0，記曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x1，f（x1））處的切線l．
（1）求l的方程；
（2）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)是（x2，0），證明．
【答案】分析：（1）欲求在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問(wèn)題解決．
（2）先在直線的方程中令y=0得到的x2值，欲證明．利用作差比較法即可．即利用因式分解的方法證x2-≥0即可．
解答：解：（1）解：f'（x）=3x2（x＞0）．∵切線l經(jīng)過(guò)曲線f（x）=x3-a上的點(diǎn)M（x1，f（x1）），
又∵切線l的斜率為k=f'（x1）=3x12．
據(jù)點(diǎn)斜式，得y-f（x1）=f'（x1）（x-x1），
整理，得y=3x12•x-2x12-a，x1＞0．
因此直線l的方程為y=3x12x-2x13-a（x1＞0）；
（2）證明：∵l與x軸交點(diǎn)為（x2，0），∴3x12x2-2x12-a=0，∵x1＞0，a＞0，
∴．
由于，
且x1＞0，a＞0，∴．
又，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，上式取“=”號(hào)．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是（　�。�
A、?x∈R，f（x）≤f（x0）B、?x∈R，f（x）≥f（x0）C、?x∈R，f（x）≤f（x0）D、?x∈R，f（x）≥f（x0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓（x+1）2+y2=1相切，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f（x）=lnx-ax2，x＞0．（f（x）的圖象連續(xù)不斷）
（Ⅰ）當(dāng)a=
1
8
時(shí)
①求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②證明：存在x0∈（2，+∞），使f（x0）=f（
3
2
）；
（Ⅱ）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明
ln3-ln2
5
≤a≤
ln2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，函數(shù)f(x)=
|x-2a|
x+2a
在區(qū)間[1，4]上的最大值等于
1
2
，則a的值為
 
．

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