Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1處取得極小值，其圖象過(guò)點(diǎn)A（0，1），且在點(diǎn)A處切線的斜率為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）的定義域?yàn)镈，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，則稱(chēng)區(qū)間[m，n]為函數(shù)g（x）的“保值區(qū)間”．
 ①請(qǐng)寫(xiě)出f（x）的一個(gè)“保值區(qū)間”（不必證明）；
 ②證明：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）不存在“保值區(qū)間”．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1處取得極小值，其圖象過(guò)點(diǎn)A（0，1），且在點(diǎn)A處切線的斜率為-1，建立方程組，從而可得f（x）的解析式為f（x）=（x²-2x+1）e^x．
（Ⅱ）①寫(xiě)出x＜1上的一個(gè)“保值區(qū)間”．
②由（Ⅰ）得f'（x）=（x²-1）e^x，假設(shè)當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）存在“保值區(qū)間”[m，n]（n＞m＞1），進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x-1）²e^x-x=0有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根，構(gòu)造新函數(shù)h（x）=（x-1）²e^x-x（x≥1），可判斷存在唯一x₀∈（1，2），使得h′（x₀）=0，h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程（x-1）²e^x-x=0有且只有一個(gè)大于1的根，與假設(shè)矛盾，故可得證．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=（ax²+bx+c）e^x，
∴f′（x）=[ax²+（2a+b）x+（b+c）]e^x，
∵函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1處取得極小值，
其圖象過(guò)點(diǎn)A（0，1），且在點(diǎn)A處切線的斜率為-1．
∴

f(0)=1 f′(0)=-1 f′(1)=0

，即

c=1 b+c=-1 3a+2b+c=0

，解得

a=1 b=-2 c=1

∴f（x）的解析式為f（x）=（x²-2x+1）e^x．
（Ⅱ）①f（x）的一個(gè)“保值區(qū)間”為[0，1]．
②由（Ⅰ）得f'（x）=（x²-1）e^x，
假設(shè)當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）存在“保值區(qū)間”[m，n]（n＞m＞1）
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）=（x²-1）e^x＞0，∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)
∴

f(m)=m f(n)=n

即

(m-1)2em=m (n-1)2en=n

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x-1）²e^x-x=0有兩個(gè)大于1的不等實(shí)根． 
現(xiàn)在考查函數(shù)h（x）=（x-1）²e^x-x（x≥1），h′（x）=（x²-1）e^x-1
令φ（x）=（x²-1）e^x-1，∴φ′（x）=（x²+2x-1）e^x，
當(dāng)x＞1時(shí)，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，即h′（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)
∴h′（1）=-1＜0，h′（2）=3e²-1＞0
∴存在唯一x₀∈（1，2），使得h′（x₀）=0，
當(dāng)x變化時(shí)，h′（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（1，x0）	x0	（x0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴h（x）在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x₀）＜h（1）=-1＜0
∵h(yuǎn)（2）=e²-2＞0
∴當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)
即方程（x-1）²e^x-x=0有且只有一個(gè)大于1的根，與假設(shè)矛盾
故當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）不存在“保值區(qū)間”．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的解析式，考查新定義，同時(shí)考查反證法思想的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．