Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，圖象過點(diǎn)P（0，1）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù) g（x）=f（x）+cos2x-1，將函數(shù) g（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度后，所得的圖象在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知中函數(shù)f（x）的最小正周期為π，圖象過點(diǎn)P（0，1），求出ω，φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數(shù) g（x）=f（x）+cos2x-1的解析式及將函數(shù) g（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度后的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及所得的圖象在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，可得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2，
又由函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)P（0，1），
∴sinφ=0，
∴φ=0，
∴函數(shù)f（x）=sin2x+1；
（Ⅱ）∵函數(shù) g（x）=f（x）+cos2x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
將函數(shù) g（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度后，
所得函數(shù)的解析式是：h（x）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈（0，m），
∴2x-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，2m-$\frac{π}{4}$），
又由h（x）在區(qū)間（0，m）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，
∴2m-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即m≤$\frac{3π}{8}$，
即實(shí)數(shù)m的最大值為$\frac{3π}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變換，熟練掌握正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．