Question

15．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）是否存在直線PQ，滿足$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，若存在，求出直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）曲線x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，說(shuō)明曲線是圓，直線過(guò)圓心，易求m的值；
（2）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，以及$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0． 求得k的方程，然后求直線PQ的方程．

解答 解：（1）曲線方程為（x+1）²+（y-3）²=9表示圓心為（-1，3），半徑為3的圓．
∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，
∴圓心（-1，3）在直線上．代入得m=-1．
（2）∵直線PQ與直線y=x+4垂直，
∴設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．
將直線y=-x+b代入圓方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b+1）＞0，得2-3$\sqrt{2}$＜b＜2+3$\sqrt{2}$．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=$\frac{^{2}-6b+1}{2}$．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=$\frac{^{2}-6b+1}{2}$+4b．
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3$\sqrt{2}$，2+3$\sqrt{2}$）．
∴所求的直線方程為y=-x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題．