Question

3．如圖，在長(zhǎng)方體中ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=3，BC=AA₁=4，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AD₁和DC₁所成角的余弦值．
（2）求點(diǎn)C到平面BC₁D的距離．

Answer 1

分析 （1）由OO₁∥AD₁知，AD₁和DC₁所成角等于OO₁和DC₁所成的銳角或直角；
（2）設(shè)點(diǎn)C到平面BC₁D的距離為h，則V_C-BC1D=V_C1-BCD，即用體積轉(zhuǎn)化的方法求點(diǎn)到平面的距離．

解答 解：（1）由OO₁∥AD₁知，AD₁和DC₁所成角等于OO₁和DC₁所成的銳角或直角，
在△OO₁D中，由題設(shè)可得，OD=$\frac{5}{2}$，O₁D=2$\sqrt{2}$，OO₁=$\frac{5}{2}$，
由余弦定理得，cos∠OO₁D=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故AD₁和DC₁所成角的余弦值為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）設(shè)點(diǎn)C到平面BC₁D的距離為h，
則有：V_C-BC1D=V_C1-BCD，
其中，V_C1-BCD=$\frac{1}{3}$•$\frac{BC•CD}{2}$•CC₁=$\frac{1}{3}$•$\frac{3•4}{2}$•4=8，
在△BDC₁中，BD=5，DC₁=5，BC₁=4$\sqrt{2}$，
所以，△BDC₁的面積為$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5^2-（2\sqrt{2}）^2}$•4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{34}$，
再由V_C-BC1D=V_C1-BCD得，$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{34}$•h=8，
解得h=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，
即點(diǎn)C到平面BC₁D的距離為：$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了異面直線所成的角的確定和求解，以及運(yùn)用體積轉(zhuǎn)化的方法求點(diǎn)到平面距離，屬于中檔題．