Question

設x₁、x₂是函數f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x (a＞0)的兩個極值點．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求證：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范圍；
（3）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）時，求函數g（x）=|f′（x）+2（x-x₂）|的最大值h（a）．

Answer 1

分析：（1）利用導數與函數極值的關系列出關于a，b的不等式組是解決本題的關鍵，利用整體思想確定出f′（-2）的取值范圍；
（2）建立b與x₁，x₂的關系是解決本題的關鍵．根據所得的函數表達式利用函數的單調性求出b的取值范圍；
（3）寫出函數g（x）的表達式是解決本題的關鍵，根據基本不等式求出函數的最大值h（a）．

解答：解：由已知：f'（x）=ax²+（b-1）x+1
故x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根
（1）由于x₁＜2＜x₂＜4故

f′ (2)＜0 f′ (4)＞0

即

4a+2b-1＜0① 16a+4b-3＞0  ②

由于f'（-2）=4a-2b+3
①×（-3）+②得：4a-2b＞0
∴f'（-2）＞3

（2）由韋達定理

x1+x2= 1-b a x1x2= 1 a ＞0

故1-b=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

即b=1-

1

x1

-

1

x2

當0＜x₁＜2時，則x1x2=

1

a

＞0得x2＞0
這時，由|x₂-x₁|=2得x₂=x₁+2
即b=1-(

1

x1

+

1

x1+2

)=1-

2(x1+1)

(x1+1)2-1

=1-

2

(x1+1)- 1 x1+1

為增函數（也可用求導法來證），
故b＜1-(

1

2

+

1

4

)=

1

4

當-2＜x₁＜0時，有x₁-x₂=2，則b=1-(

1

x1

+

1

x1-2

)也為增函數
故這時，b＞1-(

1

-2

+

1

-2-2

)=

7

4

綜上，b的取值范圍是(-∞，

1

4

)∪(

7

4

，+∞)

（3）∵a≥2，x₂-x₁=2故可設f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
∴g（x）=|f'(x)+2(x-x2)|=|a(x-x2)(x-x1+

2

a

)|
∵x∈（x₁，x₂）∴x-x₂＜0，x-x₁＞0，x-x₁+

2

a

＞0
∴g(x)=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)≤a[

x2-x1+ 2 a

2

]2=a+

1

a

+2
當且僅當x₂-x=x-x₁+

a

2

即x=

x1+x2

2

-

1

a

=x1+1-

1

a

等號成立．
∴h（a）=a+

1

a

+2a∈[2，+∞）．

點評：此題是個難題．本題屬于函數與不等式的綜合問題，利用導數的基本知識確定出相關的關系，列出相關的不等式進行綜合轉化．本題考查學生的轉化與化歸思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查導數的工具作用．