Question

（2008•和平區(qū)三模）已知點H（-3，0），點P在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線PQ上，且

HP

•

PM

=0，又

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）當點P在y軸上移動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）（k＞2）與軌跡C交于A、B兩點，AB中點N到直線3x+4y+m=0（m＞-3）的距離為

1

5

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的運算及數(shù)量積運算即可得出；
（2）把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，再利用中點坐標公式、點到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（1）設M（x，y），P（0，a），Q（b，0）
由

PM

=-

3

2

MQ

得(x，y-a)=-

3

2

(b-x，-y)，
∴a=-

y

2

，b=

x

3

，即P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)，
由

HP

•

PM

=0⇒(3，-

y

2

)•(x，

3

2

y)=0
∴y²=4x（x＞0）．
（2）由

y=k(x-1)(k＞2) y2=4x

消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由N是AB的中點∴N(

k2+2

k2

，

2

k

)，
又由已知

|3• k2+2 k2 +4• 2 k +m|

32+42

=

1

5

∴|

6

k2

+

8

k

+m+3|=1
∵k＞2，m＞-3∴

6

k2

+

8

k

+m+3=1．
令

1

k

=t，則0＜t＜

1

2

雙m=-6t2-8t-2⇒-

15

2

＜m＜-2
綜合m＞-3可得-3＜m＜-2．

點評：熟練掌握直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、點到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、向量的運算及數(shù)量積運算等是解題的關鍵．