Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的對(duì)稱軸方程；
（Ⅲ）求f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為sin2x，由此可得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）令 2x=kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的值，即可得到f（x）的對(duì)稱軸方程．
（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π-x）cosx=2sinxcosx=sin2x，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為π．（4分）
（Ⅱ）令 2x=kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x=

kπ

2

+

π

4

(k∈Z)，故對(duì)稱軸方程為 x=

kπ

2

+

π

4

(k∈Z)．
（ III）由-

π

6

≤x≤

π

2

⇒-

π

3

≤2x≤π，∴-

3

2

≤sin2x≤1，（10分）
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

2

]上的最大值為1，最小值為-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．