Question

（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知直線l過點(diǎn)P（-1，2），且傾斜角為

2π

3

，圓方程為ρ=2cos(θ+

π

3

)．
（1）求直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與圓交與M、N兩點(diǎn)，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，直線l的參數(shù)方程為

x=-1+t•cos 2π 3 y=2+t•sin 2π 3

，化簡可得結(jié)果．
（2）把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得 t₁•t₂=6+2

3

，再由|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|求得結(jié)果．

解答：解：（1）直線l過點(diǎn)P（-1，2），且傾斜角為

2π

3

，故直線l的參數(shù)方程為

x=-1+t•cos 2π 3 y=2+t•sin 2π 3

，即 

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 2 t

(t為參數(shù)）．
 （2）圓方程 ρ=2cos(θ+

π

3

)=2（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ ），即ρ²=2（

1

2

ρ•cosθ-

3

2

ρ•sinθ）=ρ cosθ-

3

ρsinθ，
化為直角坐標(biāo)方程為 (x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1．
把

x=-1- 1 2 t y=2+ 3 2 t

代入 (x-

1

2

)2+(y-

3

2

)2=1化簡可得 t²+（3+2

3

）t+6+2

3

=0．
設(shè)此一元二次方程式的兩個根分別為 t₁和 t₂，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得 t₁•t₂=6+2

3

．
由題意可得|PM|•|PN|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=6+2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．