Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax（e為自然對數(shù)的底數(shù)，近似值為2.718）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）不等式f（x）＜x的解集為P，若M={x|≤x≤2}且M∩P=M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=-1，且設(shè)g（x）=e^xlnx，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）f′（x）=e^x+a，
①當(dāng)a≥0時，f′（x）≥0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）；
②當(dāng)a＜0時，令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln（-a），且當(dāng)x∈（-∞，ln（-a））時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（ln（-a），+∞）時，f′（x）＞0，
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，ln（-a）），單調(diào)增區(qū)間是（ln（-a），+∞）．
（2）因?yàn)镸∩P=M，所以M⊆P，從而f（x）＜x在[，2]上恒成立．
由e^x+ax＜x，得a＜1-在[，2]上恒成立．
令h（x）=1-，x∈[，2]，則h′（x）=，
所以h（x）在[，2]上遞增，在[1，2]上遞減．
又h（）=1-2，h（2）=1-，且h（2）＜h（），所以h_min（x）=h（2）=1-，所以a＜1-．
所以a的取值范圍是（-∞，1-）．
（3）由y=g（x）-f（x）=e^xlnx-e^x+x，所以y′=e^x（lnx+-1）+1．
假設(shè)存在x₀∈（0，+∞），使曲線C：y=g（x）-f（x）在點(diǎn)x₀處的切線斜率與f（x）在R上的最小值相等，
由（1）知，當(dāng)a=-1時，f（x）的最小值是-（-1）+（-1）ln1=1，所以x₀為方程y′=1，即e^x（lnx+-1）=0的解．
令t（x）=lnx+-1，x∈（0，+∞），由t′（x）=-=，
知t（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，所以t（x）≥t（1）=0，
故方程lnx+-1=0在（0，+∞）上有唯一解為1．
所以，存在符合條件的x₀，且只有1個．
分析：（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意要對a分類討論；
（2）由M∩P=M，可得M⊆P，所以問題轉(zhuǎn)化為f（x）＜x在[，2]上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題解決；
（3）當(dāng)a=-1時，求出f（x）在R上的最小值，假設(shè)存在符合條件的x₀，則x₀為方程y′=f_min（x）的解，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)可以解決．
點(diǎn)評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，關(guān)于不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，本題滲透了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化思想．