Question

如圖，正方體的棱長是a，C，D分別是兩條棱的中點．
（1）證明四邊形ABCD（圖中陰影部分）是一個梯形；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）求平面ABCD與平面MAB所成二面角大小的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面的基本性質(zhì)及推論

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接EF，利用中位線及平行四邊形的性質(zhì)，易得到結(jié)論．
（2）由（1）的結(jié)論，四邊形ABCD為一個梯形，根據(jù)已知中正方體的棱長為a，C，D分別是兩條棱的中點，我們求出梯形的上底、下底及高，代入梯形面積公式即可得到答案；
（3）取DG的中點G，作DH⊥AB，垂足為H，連接GH，∠DHG為平面ABCD與平面MAB所成二面角．

解答： （1）證明：如圖所示，連接EF，
∵C，D分別是兩條棱的中點，
∴EF∥CD，且EF=2CD，
又∵四邊形EFBA是平行四邊形．
∴EF∥AB，EF=AB，
∴CD∥AB，AB=2CD，
∴四邊形ABCD（圖中陰影部分）是一個梯形；
（2）解：如圖所示，取AM的中點G，作DH⊥AB，垂足為H，連接GH，則
由AB=

2

a，知CD=

2

2

a，梯形的高為DH=

3

4

2

a
四邊形的面積為

1

2

×（

2

a+

2

2

a）×

3

4

2

a=

9

8

a2；
（3）解：由（2）知，∠DHG為平面ABCD與平面MAB所成二面角．
∵DH=

3

4

2

a，DG=a，
∴sin∠DHG=

DG

DH

=

2 2

3

．

點評：本題考查的知識點是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，其中根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，確定AB∥CD，進而得到結(jié)論是解答本題的關(guān)鍵．