Question

正方體的棱長(zhǎng)為a，P為B₁C₁的中點(diǎn)，A₁C₁與PD₁交于M，B₁C與PB交于N，求證：MN⊥A₁C₁，MN⊥B₁C，并求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：分別以CB，CD，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出

MN

，

A1C1

，

B1C

的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積為0，判斷直線垂直，我iu向量的模求線段的長(zhǎng)度．

解答： 證明：如圖

分別以CB，CD，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，正方體的棱長(zhǎng)為a，P為B₁C₁的中點(diǎn)，
所以C（0，0，0），P（

1

2

a，0，a），M（

1

3

a，

1

3

a，a），N（

2

3

a，0，

2

3

a），A₁（a，a，a），C₁（0，0，a），B₁（a，0，a），
所以

MN

=（

1

3

a，-

1

3

a，-

1

3

a），

A1C1

=（-a，-a，0），

B1C

=（-a，0，-a），
所以

MN

•

A1C1

=-

1

3

a²+

1

3

a²+0=0，

MN

•

B1C

=-

1

3

a²+0+

1

3

a²=0，|

MN

|=

1

3

a2+a2+a2

=

3

3

a；
所以MN⊥A₁C₁，MN⊥B₁C，MN=

3

3

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線線垂直的判定以及線段長(zhǎng)度的求法；本題借助于空間向量的數(shù)量積以及模求直線垂直和線段的長(zhǎng)度；關(guān)鍵是適當(dāng)建立坐標(biāo)系，正確找出向量的坐標(biāo)，正確運(yùn)算．