Question

5．若方程x²+ax+2b=0的一個根在（0，1）內(nèi)，另一個根在（1，2）內(nèi)，則$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1）．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²+ax+2b，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與零點存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立關(guān)于a、b的二元一次不等式組，設(shè)點E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點，根據(jù)直線的斜率公式可得k=$\frac{b-2}{a-1}$表示D、E連線的斜率，將點E在區(qū)域內(nèi)運動并觀察直線的傾斜角的變化，即可算出k的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一個根在區(qū)間（0，1）內(nèi)，另一個根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
∴可得 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=2b＞0}\\{f（1）=1+a+2b＜0}\\{f（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$．
作出滿足上述不等式組對應(yīng)的點（a，b）所在的平面區(qū)域，
得到△ABC及其內(nèi)部，即如圖所示的陰影部分（不含邊界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
設(shè)點E（a，b）為區(qū)域內(nèi)的任意一點，
則k=$\frac{b-2}{a-1}$，表示點E（a，b）與點D（1，2）連線的斜率．
∵K_AD=$\frac{2-1}{1+3}$=$\frac{1}{4}$，k_CD=$\frac{2-0}{1+1}$=1，結(jié)合圖形可知：K_AD＜k＜K_CD，
∴k的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，1），
故答案為：（$\frac{1}{4}$，1）．

點評 本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、零點存在性定理、二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、直線的斜率公式與兩點間的距離公式等知識，屬于中檔題．