Question

【題目】求具有下述性質的所有正整數(shù)：對任意正整數(shù)，.

Answer 1

【答案】所求的為.

【解析】

對正整數(shù)，設為正整數(shù)的標準分解中素因子2的方冪.則，

其中表示正整數(shù)在二進制表示下的數(shù)碼之和,原命題等價于求所有正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，有.再證明所有符號條件的為.

對正整數(shù)，設為正整數(shù)的標準分解中素因子2的方冪.則

， ①

其中，表示正整數(shù)在二進制表示下的數(shù)碼之和.

由

.

進而，由式①知本題等價于求所有正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)，有.

接下來證明：所有符號條件的為.

一方面，因為對任意正整數(shù)，有，所以，符合條件.

另一方面，若不為2的方冪，設（，為大于1的奇數(shù)）.

下面構造一個正整數(shù)，使得.

因為，所以，問題等價于選取的一個倍數(shù)，使得.

由，知存在正整數(shù)，使得.

事實上，由歐拉定理，知可以取.

設奇數(shù)的二進制表示為，其中，，.

取.

則，且.

故

. ②

由于，故正整數(shù)的二進制表示中的最高次冪小于.

由此，對任意整數(shù)、，數(shù)與的二進制表示中沒有相同的項.

又，則的二進制表示中均不包含1.

故由式②知

.

因此，上述選取的滿足要求.

綜上，所求的為.