Question

14．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公比q＞0，S₂=2a₂-2，S₃=a₄-2
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}n為奇數(shù)\\ \frac{n}{a_n}\;\;n為偶數(shù)\end{array}$，T_n為{b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}n為奇數(shù)\\ \frac{n}{a_n}\;\;n為偶數(shù)\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n（n+2）}，n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{{2}^{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，分組求和，利用“裂項求和”方法、“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由已知S₂=2a₂-2①，S₃=a₄-2②，
①-②得a₃=a₄-2a₂，即q²-q-2=0，
又∵q＞0∴q=2，∵S₂=2a₂-2，∴a₁+a₂=2a₂-2．
∴a₁+a₁q=2a₁q-2，∴a₁=2，
∴${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{{{n^2}（{n+2}）}}n為奇數(shù)\\ \frac{n}{a_n}\;\;n為偶數(shù)\end{array}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n（n+2）}，n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{{2}^{n}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴T_2k=b₁+b₂+b₃+…+b_2k=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}}）$+[2×2^-2+4×2^-4+6×2^-6+…+（2k）•2^-2k]
=$\frac{k}{2k+1}$+[2×2^-2+4×2^-4+6×2^-6+…+（2k）•2^-2k]．
設(shè)A=[2×2^-2+4×2^-4+6×2^-6+…+（2k）•2^-2k]，
則2^-2A=2×2^-4+4×2^-6+6×2^-8+…+（2k-2）•2^-2k+（2k）•2^-2k-2，
兩式相減得$\frac{3}{4}A=\frac{1}{2}+2（{{2^{-4}}+{2^{-6}}+{2^{-8}}+…+{2^{-2k}}}）-（{2k}）•{2^{-2k-2}}$，
整理得$A=\frac{8}{9}-\frac{6k+8}{{9×{2^{2k}}}}$，
∴${T_{2k}}=\frac{8}{9}-\frac{6k+8}{{9×{2^{2k}}}}+\frac{k}{2k+1}$．
故$n為偶數(shù)時{T_n}=\frac{8}{9}-\frac{3n+8}{{9×{2^n}}}+\frac{n}{2（n+1）}$．$n為奇數(shù)時{T_n}={T_{n-1}}+{b_n}=\frac{8}{9}-\frac{3（n-1）+8}{{9×{2^{n-1}}}}+\frac{n-1}{2n}+\frac{1}{n（n+2）}=\frac{8}{9}-\frac{3n+5}{{9×{2^{n-1}}}}+\frac{n+1}{2（n+2）}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{8}{9}-\frac{3n+8}{9×{2}^{n}}+\frac{n}{2（n+1）}，n為偶數(shù)}\\{\frac{8}{9}-\frac{3n+5}{9×{2}^{n-1}}+\frac{n+1}{2（n+2）}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、“裂項求和”方法、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．