已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

思路解析:a+b=1的充分條件是a3+b3+ab-a2-b2=0,需證“a3+b3+ab-a2-b2=0a+b=1”.反之,是必要性.

證明:(必要性)∵ a+b=1,即a+b-1=0,

∴ a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2+b2-ab)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.

(充分性)∵ a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

而ab≠0,

∴ a≠0且b≠0.

而a2-ab+b2=(a-)2+b2＞0,∴ a+b-1=0,即a+b=1.

綜上,可知當ab≠0時,a+b=1的充要條件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

誤區(qū)警示

這種題在進行證明時有時誤將充分性當必要性,又將必要性當充分性來證,故首先要分清條件與結論是什么.

另外,該例的敘述格式是B成立的充要條件是A,因此由AB是充分性,由BA是必要性.若敘述格式是p是q的充要條件,則由pq是充分性,由qp是必要性.

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