Question

已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

證明:先證必要性成立.?

∵a+b=1,即b=1-a,?

∴a³+b³+ab-a²-b²?

=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²??

=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.?

再證充分性成立.?

∵a³+b³+ab-a²-b²=0,?

即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0,?

∴(a+b-1)(a²-ab+b²)=0.?

由ab≠0,即a≠0且b≠0,?

∴a²-ab+b²=(a-)²+≠0.?

只有a+b=1,?

綜上可知,當ab≠0,a+b=1的充要條件是a³+b³+ab-a²-b²=0.