（1）求證：“{an}是等差數(shù)列”的充要條件是“存在常數(shù)k和b，使an=kn+b對一切n∈N*都成立”；
（2）試問：是否存在等差數(shù)列{an}滿足an=an2-nan+1（n∈N*）？若存在，請求出通項公式；若不存在，請說明理由．
分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義進行證明．（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義推導通項公式，
解答：解：（1）充分性．因為an=kn+b對一切n∈N*都成立，所以an+1=k（n+1）+b，
兩式相減得an+1-an=kn+b-[k（n+1）+b]=k為常數(shù)，所以：{an}是等差數(shù)列．
必要性：若：{an}是等差數(shù)列，設公差為k，an=kn+b=a1+（n-1）k=kn+a1-k
取b=a1-k，則an=kn+b成立．
（2）假設存在等差數(shù)列{an}滿足an=an2-nan+1（n∈N*），設an=kn+b，代入an=an2-nan+1，得（k2-k）n2+（2bk-b-k）n+b2+1-k-b=0，
從而
k2-k=0        ①
2bk-b-k=0  ②
b2+1-k-b=0  ③
，由①得k=0或k=1．若k=0，代入②得b=0不滿足③．
當k=1時，解得b=1，所以an=n+1．
故等差數(shù)列{n+1}滿足性質(zhì)．
點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和證明，利用定義是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=a（a≠0，且a≠1），其前n項和Sn=
a
1-a
（1-an）
（1）求證：{an}為等比數(shù)列；
（2）記bn=anlg|an|（n∈N*），Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，那么：
①當a=2時，求Tn；
②當a=-
7
3
時，是否存在正整數(shù)m，使得對于任意正整數(shù)n都有bn≥bm．如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）．
（1）求證：{an+1+2an}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|++|bn|＜m對于n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過點P（1，0）作曲線C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切線，切點為M1，設M1在x軸上的投影是點P1．又過點P1作曲線C的切線，切點為M2，設M2在x軸上的投影是點P2…．依此下去，得到一系列點M1，M2，…，Mn，…，設它們的橫坐標a1，a2，…，an，…，構(gòu)成數(shù)列{an}．（a1≠0）．
（1）求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（2）求證：an≥1+
n
k+1
；
（3）若k=2，記bn=
n
i=0
(-1)i
a
2
n-i
C
i
2n-i+1
，求b2010．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn=2an+n，且bn=
an-1anan+1
．
（1）求證：{an-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對于任意的n∈N*，恒有Sn=2an-n，設bn=log2（an+1），
（1）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式an和bn；
（3）設cn=
2bn
an•an+1
，①求數(shù)列{cn}的最大值．②求
lim
n→∞
(c1+c2+…+cn）．

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