Question

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：
（1）全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；
（2）全體排成一行，男生不能排在一起；
（3）全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人；
（4）全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

專(zhuān)題：排列組合

分析：（1）利用元素分析法（特殊元素優(yōu)先安排），甲為特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三個(gè)位置可供甲選擇，問(wèn)題得以解決．
（2）利用插空法、先排女生，然后在空位中插入男生，問(wèn)題得以解決．
（3）從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙，問(wèn)題得以解決．
（4）利用間接法，先排最左邊，除去甲外，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)，問(wèn)題得以解決．

解答： 解�。�1）利用元素分析法（特殊元素優(yōu)先安排），甲為特殊元素，
故先安排甲，左、右、中共三個(gè)位置可供甲選擇，有

A

1 3

，其余6人全排列，有

A

6 6

．
由分步計(jì)數(shù)原理得

A

1 3

•

A

6 6

=2160（種）．
（2）插空法、先排女生，然后在空位中插入男生，共有

A

4 4

•

A

3 5

=1440（種）
（3）從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有

A

3 5

，
甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有

A

2 2

•

A

3 3

，
最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可，共有

A

3 5

•

A

2 2

•

A

3 3

=720（種）．
（4）位置分析法（特殊位置優(yōu)先安排）．先排最左邊，除去甲外，余下的6個(gè)位置全排有

A

1 6

•

A

6 6

種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)

A

1 5

•

A

5 5

種．
則符合條件的排法共有有

A

1 6

•

A

6 6

-

A

1 5

•

A

5 5

=3720（種）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了排列問(wèn)題中的幾種常用方法，特殊元素優(yōu)先安排，相鄰捆綁，不相鄰插空，正難則反，屬于基礎(chǔ)題．