Question

已知函數(shù)f（x）=

1

sinx

+

1

cosx

，在下列結(jié)論中：
①π是f（x）的一個(gè)周期；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

4

對(duì)稱；
③f（x）在（-

π

2

，0）上單調(diào)遞減．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：變形可得f（x+π）≠f（x），可判①錯(cuò)誤；
可得f（

π

2

-x）=f（x），可判②正確；
換元t=sinx+cosx，可得y=

2t

t2-1

，求導(dǎo)數(shù)可判單調(diào)性．

解答： 解：∵f（x）=

1

sinx

+

1

cosx

，
∴f（x+π）=

1

sin(x+π)

+

1

cos(x+π)

=-

1

sinx

-

1

cosx

≠f（x），
∴π不是f（x）的周期，故①錯(cuò)誤；
∵f（

π

2

-x）=

1

sin( π 2 -x)

+

1

cos( π 2 -x)

=

1

cosx

+

1

sinx

=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

4

對(duì)稱，故②正確；
設(shè)t=sinx+cosx，則sinxcosx=

t2-1

2

，
∴y=

1

sinx

+

1

cosx

=

sinx+cosx

sinxcosx

=

2t

t2-1

，
當(dāng)x∈（-

π

2

，0）時(shí)，t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈（-1，1），
求導(dǎo)數(shù)可得y′=

2(t2-1)-2t•2t

(t2-1)2

=

-2t2-2

(t2-1)2

＜0，
∴函數(shù)單調(diào)遞減，故③正確．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，涉及周期性和對(duì)稱性，以及導(dǎo)數(shù)法判函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．