【題目】已知函數(shù)上的最大值為.

1)求的解析式;

2)討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】12有且僅有個(gè)零點(diǎn)

【解析】

1)由,求導(dǎo)得到,根據(jù)函數(shù)上的最大值為,利用唯一的極值點(diǎn)為最值點(diǎn)求解.

2)由(1)得到,求導(dǎo),設(shè),分,, 四種情況用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.

1)由,得,

,得;令,得,

的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.

處有極大值,也是的最大值,

所以,∴,

.

2)∵,

設(shè),

i)當(dāng)時(shí),∴,所以單調(diào)遞減.

,從而上存在唯一零點(diǎn).也即在上存在唯一零點(diǎn).

ii)當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞減,

因?yàn)?/span>,,

所以存在,且在,在,

所以上的最大值,

又因?yàn)?/span>,

所以上恒大于零,無(wú)零點(diǎn).

iii)當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞減.

,所以上單調(diào)遞增.

,

所以上存在唯一零點(diǎn).

iiii)當(dāng)時(shí),,

設(shè),

所以上單調(diào)遞減,所以,即.

上單調(diào)遞減,

因?yàn)?/span>,所以上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>,

所以無(wú)零點(diǎn),

綜上,有且僅有個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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