Question

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷出函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可得出值域；

（2）先由題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)方法判斷其單調(diào)性，求其最小值，即可得出結(jié)果.

（3）令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)方法研究其單調(diào)性，求其最小值，只需最小值大于0即可.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

∵，∴，

∴，所以，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)的最大值為；

的最小值為，

所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>．

（2）原不等式可化為 …（*），

因?yàn)?/span>恒成立，故（*）式可化為．

令，則，

當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以；

當(dāng)時(shí)，令，得，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)成立；

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得

綜上，．

（3）令，則．

由，故存在，使得，

即 ．

所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，且是唯一的極小值，

故函數(shù)

，

因?yàn)?/span>，所以，

故，

即．