Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），且c=

3

b，Q為橢圓C的左頂點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過(guò)點(diǎn)（-

6

5

，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（理）若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得\Delta QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（文）若直線l垂直于x軸，求∠AQB的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得a²=b²+c²，b=1，c=

3

b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）（理）由（1）得Q（-2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，由題意設(shè)直線AB的方程為y=k（x+

6

5

），k≠0，由

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量數(shù)量積，結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，不存在直線l，使得△QAB為等腰三等形．
（2）（文）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x=-

6

5

，由

x=- 6 5 x2 4 +y2=1

，得A（-

6

5

，

4

5

），B（-

6

5

，-

4

5

），由此能示出∠AQB=

π

2

．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，且a²=b²+c²，
∵橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，1），且c=

3

b，
∴由題意知b=1，c=

3

b，解得a²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）（理）由（1）得Q（-2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，由題意設(shè)直線AB的方程為y=k（x+

6

5

），k≠0，
由

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0，
∵點(diǎn)（-

6

5

，0）在橢圓C的內(nèi)部，∴△＞0，
x1+x2=-

240k2

25+100k2

，x1x2=

144k2-100

25+100k2

，
∵

QA

=（x₁+2，y₁），

QB

=(x2+2，y2)，y1=k(x1+

6

5

)，y2=k(x2+

6

5

)，
∴

QA

•

QB

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=（x₁+2）（x₂+2）+k（x1+

6

5

）•k(x2+

6

5

)
=（1+k²）x₁x₂+（2+

6

5

k2）（x₁+x₂）+4+

36

25

k2
=（1+k²）•

144k2-100

25+100k2

+（2+

6

5

k2）（-

240k2

25+100k2

）+4+

36

25

k2=0，
∴

QA

⊥

QB

，∴△OAB為直角三角形．
假設(shè)存在直線l使得△QAB為等腰三角形，則|QA|=|QB|，
取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)QM，則QM⊥AB，
設(shè)點(diǎn)（-

6

5

，0）為N，
另一方面，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x_M=k（xM+

6

5

）=

6k

5+20k2

，
∴

QM

•

MN

=（

10+16k2

5+20k2

，

6k

5+20k2

）•（

6

5+20k2

，

6k

5+20k2

）
=

60+132k2

(5+20k2)2

≠0，
∴

OM

與

NM

不垂直，矛盾，
∴當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，不存在直線l，使得△QAB為等腰三等形．
（2）（文）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x=-

6

5

，
由

x=- 6 5 x2 4 +y2=1

，解得

x=- 6 5 y= 4 5

或

x=- 6 5 y=- 4 5

，
即A（-

6

5

，

4

5

），B（-

6

5

，-

4

5

），
則直線AQ的斜率k_AQ=1，直線BQ的斜率k_BQ=-1，
∵k_AQ•k_BQ=-1，∴AQ⊥BQ，∴∠AQB=

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，考查角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．