Question

（09年朝陽區(qū)二模理）（14分）

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為邊的中點，與平面所成的角為，且，.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求點到平面的距離；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

解析： 證明：（Ⅰ）因為底面，

所以是與平面所成的角.

由已知， 所以.

易求得，，又因為，

所以， 所以.

因為底面，平面,

所以.  由于，

所以平面.                             ………………………4分

解：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，平面.又因為平面,

所以平面平面，

過作于，（如圖）則平面，

所以線段的長度為點到平面的距離.

在中，易求得,  所以.

所以點到平面的距離為.                     ………………………9分

（Ⅲ）設(shè)為中點. 連結(jié)，由于底面，

且平面，則平面平面.

 因為，所以平面.

過作，垂足為，連結(jié)，

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

容易證明∽，則，

因為，，，

所以.

在中，因為，所以，

所以二面角的大小為.        ………………………14分

解法二:

因為底面，

所以是與平面所成的角.

由已知，

所以.

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.

由已知，為中點.

于是、、、

、.

（Ⅰ）易求得，

， .

因為, ,

所以，.

因為，所以平面.         ………………………4分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，

由  得   解得，

所以.    又因為,

所以點到平面的距離.   …………………9分

（Ⅲ）因為平面，所以是平面的法向量， 易得.

由（Ⅱ）知平面的法向量，

所以.

所以二面角的大小為.        ………………………14分