已知在數(shù)列{an}中,a1=1,a2n+1=qa2n-1+d(d∈R,q∈R 且q≠0,n∈N*).
(1)若數(shù)列{a2n-1}是等比數(shù)列,求q與d滿足的條件;
(2)當d=0,q=2時,一個質(zhì)點在平面直角坐標系內(nèi)運動,從坐標原點出發(fā),第1次向右運動,第2次向上運動,第3次向左運動,第4次向下運動,以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地運動,設第n次運動的位移是an,第n次運動后,質(zhì)點到達點Pn(xn,yn),求數(shù)列{n•x4n}的前n項和Sn
分析:(1)根據(jù)a1=1,a2n+1=qa2n-1+d(d∈R,q∈R 且q≠0,n∈N*),若數(shù)列{a2n-1}是等比數(shù)列,分d=0與d≠0討論解決;
(2)當d=0,q=2時,可求得a2n-1=2n-1,于是x4=a1-a3=1-2,x8=1-2+22-23,…,從而求得x4n=
1-22n
3
,Sn=x4+2x8+3x12+…+(n-1)•x4(n-1)+n•x4n利用錯位相減法可求得sn
解答:解:(1)∵a1=1,a2n+1=qa2n-1+d,q≠0,
①當d=0時,a2n+1=qa2n-1,顯然{a2n-1}是等比數(shù)列;
②當d≠0時,a3=qa1+d=q+d,a5=qa3+d=q(q+d)+d.
∵數(shù)列{a2n-1}是等比數(shù)列,
a
2
3
=a1a5
,即(q+d)2=q(q+d)+d,化簡得q+d=1.
此時有a2n+1=qa2n-1+1-q,得a2n+1-1=q(a2n-1-1),
由 a1=1,q≠0,得a2n-1=1(n∈N*),則數(shù)列{a2n-1}是等比數(shù)列.
綜上,q與d滿足的條件為d=0(q≠0)或q+d=1(q≠0,d≠0).
(2)當d=0,q=2時,
∵a2n+1=2a2n-1,
a2n-1=a12n-1=2n-1,
依題意得:x4=a1-a3=1-2,x8=1-2+22-23,…,
x4n=1-2+22-23+…+22n-2-22n-1=
1-(-2)2n
1-(-2)
=
1-22n
1+2
=
1-22n
3

1-3x4n=22n
x4n=
1-22n
3

∴Sn=x4+2x8+3x12+…+(n-1)•x4(n-1)+n•x4n=
1
3
(1+2+3+…+n)-
1
3
(1×22+2×24+3×26+…+n•22n)
=
n(n+1)
6
-
1
3
(1×22+2×24+3×26+…+n•22n)

Tn=1×22+2×24+3×26+…+(n-1)•22(n-1)+n•22n
4Tn=1×24+2×26+3×28+…+(n-1)•22n+n•22n+2
①-②得-3Tn=1×22+24+26+…+22n-n•22n+2=
22(1-22n)
1-4
-n•22n+2
=
4
3
(22n-1)-n•22n+2

Tn=
4
9
(1-22n)+
n•22n+2
3
=
4
9
+
(3n-1)•22n+2
9

Sn=
n(n+1)
6
-
4
27
-
(3n-1)•22n+2
27
點評:本題考查數(shù)列遞推式,難點在于(2)x4n的計算,著重考查數(shù)列求和,突出考查等差與等比數(shù)列的公式法求和及錯位相減法求和,屬于難題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知在數(shù)列{an}中,a1=1,當n≥2時,其前n項和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2
)

(Ⅰ) 求Sn的表達式;
(Ⅱ) 設bn=
Sn
2n+1
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知在數(shù)列{an}中,a1=7,an+1=
7anan+7
,計算這個數(shù)列的前4項,并猜想這個數(shù)列的通項公式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知在數(shù)列{an}中,an≠0,(n∈N*).求證:“{an}是常數(shù)列”的充要條件是“{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•河北區(qū)一模)已知在數(shù)列{an}中,Sn是前n項和,滿足Sn+an=n,(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)求a1,a2,a3的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)令bn=(2-n)(an-1)(n=1,2,3,…),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知在數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn是其前n項和,且Sn=n2an-n(n-1).
(1)證明:數(shù)列{
n+1
n
Sn}
是等差數(shù)列;
(2)令bn=(n+1)(1-an),記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn
①求證:當n≥2時,Tn2>2(
T2
2
+
T3
3
+…+
Tn
n
)
;
②)求證:當n≥2時,bn+1+bn+2+…+b2n
4
5
-
1
2n+1

查看答案和解析>>

同步練習冊答案