Question

已知函數(shù)f（x）=-log_ax-2（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（2）；
（Ⅱ）求解關(guān)于x的不等式f（）＞0；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在[2，4]的最小值為4，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（2）=-log₂2-2=1-1-2=-2                    
（Ⅱ）令，t∈（0，+∞）
f（）＞0等價(jià)于（log_at-2）（log_at+1）＞0
∴l(xiāng)og_at＞2或log_at＜-1，
當(dāng)a＞1時(shí)，t＞a²或
∴或
∴或；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t＜a²或
∴或
∴或             
（Ⅲ）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，對(duì)稱(chēng)軸為．
當(dāng)a＞1時(shí)，v∈[log_a2，log_a4]
①當(dāng)1＜a≤4，即時(shí)，f（v）在[log_a2，log_a4]上單調(diào)遞增，
∴f_min（v）=f（log_a2）=
∴l(xiāng)og_a2=3或log_a2=-2（不合題意）
∴
②當(dāng)4＜a＜16，即時(shí)，；
③當(dāng)a≥16，即時(shí)，f_min（v）=f（log_a4）=
∴l(xiāng)og_a4=3或log_a4=-2（不合題意）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，v∈[log_a4，log_a2]，顯然，
∴f_min（v）=f（log_a2）=
∴l(xiāng)og_a2=-2或log_a2=3（不合題意）
∴
綜上：或                   

分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，直接代入計(jì)算，可求f（2）；
（II）令，t∈（0，+∞），f（）＞0等價(jià)于（log_at-2）（log_at+1）＞0，分類(lèi)討論，可得結(jié)論；
（III）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，對(duì)稱(chēng)軸為．對(duì)a討論，結(jié)合函數(shù)f（x）在[2，4]的最小值為4，即可求實(shí)數(shù)a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．