Question

3．已知B₁、B₂是橢圓短軸的兩個端點，O為橢圓的中心，過左焦點F₁作長軸的垂線交橢圓于P，若|OF₁|，|F₁B₂|，|B₁B₂|成等比數(shù)列，則 $\frac{|O{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$的值是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可以先設(shè)出橢圓的方程，因為過左焦點F₁作長軸的垂線交橢圓于P，所以可以利用橢圓的方程及左焦點F₁求出|PF₁|=$\frac{^{2}}{a}$，運用橢圓的定義，求得|PF₂|，可得再由等比數(shù)列的性質(zhì)，得到方程進而求出a=$\sqrt{2}$b，即可得到所求值．

解答 解：由題意設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
令x=-c得y²=b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$）=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，
∴|PF₁|=$\frac{^{2}}{a}$，|PF₂|=2a-$\frac{^{2}}{a}$，
∴$\frac{|O{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{c}{2a-\frac{^{2}}{a}}$=$\frac{ac}{2{a}^{2}-^{2}}$，
又由|F₁B₂|²=|OF₁|•|B₁B₂|得a²=2bc，
∴a⁴=4b²（a²-b²）．
∴（a²-2b²）²=0．∴a²=2b²．即a=$\sqrt{2}$b，
c²=a²-b²=b²，即c=b，
則$\frac{ac}{2{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}^{2}}{3^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，即$\frac{|O{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
故選：B．

點評 此題重點考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，等比中項等，還考查了橢圓的定義的運用，以及運算能力，屬于中檔題．