Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前項n和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)f（x）=3x²-2x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}，{T_n}$是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得2T_n≤λ-2015對所有n∈N^*都成立的實數(shù)λ的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用點（n，S_n）在函數(shù)f（x）=3x²-2x的圖象上，得到${S_n}=3{n^2}-2n$，求出首項，判斷數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解通項公式．
（2）利用裂項消項法求出數(shù)列的和，然后結(jié)合不等式求出λ≥2016即可．

解答 解：（1）∵點（n，S）在函數(shù)f（x）=3x²-2x的圖象上，∴${S_n}=3{n^2}-2n$
當n=1時，a₁=S₁=3-2=1…（2分）
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（3{n^2}-2n）-[{3{{（n-1）}^2}-2（n-1）}]$=6n-5…（5分）
當n=1時，6n-1=1符合∴${a_n}=6n-5（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）∵$_{n}=\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{3}{（6n-5）[6（n+1）-5]}=\frac{1}{2}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{7}}）+（{\frac{1}{7}+\frac{1}{13}}）+…+（{\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}}）}]$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{6n+1}}）$…（10分）
∴2T_n＜1
又∵2T_n≤λ-2015對所有n∈N^*都成立∴1≤λ-2015
故λ≥2016…（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列的判定，數(shù)列求和的方法，數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，以及不等式的應(yīng)用，考查計算能力．