Question

5．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥{x}^{2}}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$，則z=x+y的取值范圍是（　　）

• A． （0，6）
• B． [-$\frac{1}{4}$，6]
• C． [-$\frac{1}{4}$，0]
• D． [$\frac{3}{4}$，6]

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，通過平移從而求出z的取值范圍．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+y得y=-x+z，即直線的截距最大，z也最大．
平移直線y=-x+z，即直線y=-x+z經(jīng)過點A時，截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（2，4），
則z=2+4=6．
當直線y=-x+z與y=x²相切時，直線的截距最小，此時z最小，
函數(shù)y=x²的導數(shù)f′（x）=2x，
由2x=-1，解得x=$-\frac{1}{2}$，此時y=$\frac{1}{4}$，即切點坐標為（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
則z=$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
∴-$\frac{1}{4}$≤z≤6，
故z的取值范圍是[-$\frac{1}{4}$，6]，
故選：B．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義以及直線和拋物線的相切，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．綜合性較強，涉及的知識點較多．