Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=-3，則f（2013）=

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=-2，可求得f（-2）=f（2）=0，從而可得f（x）是以4為周期的函數(shù)，結(jié)合f（1）=-3，求得f（2013）的值．

解答： 解：∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2，
∴f（-2+4）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以4為周期的函數(shù)，又f（1）=-3
f（2013）=f（503×4+1）=f（1）=-3
答案為：-3

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，求得f（2）=0是關(guān)鍵，考查函數(shù)的周期性，屬于中檔題．