Question

16．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-3．
（1）當(dāng)x＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（3）解方程f（x）=2x．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-3，可求出x＜0時(shí)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）f（0）=0，可得函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（3）分類(lèi)討論解方程f（x）=2x．

解答 解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²-3，
∴f（-x）=（-x）²-3=x²-3，
∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即f（x）=-f（-x）=-x²+3（x＜0）；
（2）f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+3，x＜0}\end{array}\right.$；
（3）x＞0，x²-3=2x，可得x=1，
x=0，滿(mǎn)足題意；
x＜0，-x²+3=2x，可得x=-3，
∴方程f（x）=2x的解為1，0或-3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及方程根，考查函數(shù)解析式的確定，屬于中檔題．