Question

甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立．

(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學期望)．

Answer 1

解　用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，A_k表示“第k局甲獲勝”，B_k表示“第k局乙獲勝”，則P(A_k)＝，P(B_k)＝，k＝1,2,3,4,5.

(1)P(A)＝P(A₁A₂)＋P(B₁A₂A₃)＋P(A₁B₂A₃A₄)

＝P(A₁)P(A₂)＋P(B₁)P(A₂)P(A₃)＋P(A₁)P(B₂)·P(A₃)P(A₄)

(2)X的可能取值為2,3,4,5.

P(X＝2)＝P(A₁A₂)＋P(B₁B₂)＝P(A₁)P(A₂)＋P(B₁)P(B₂)＝，

P(X＝3)＝P(B₁A₂A₃)＋P(A₁B₂B₃)

＝P(B₁)P(A₂)P(A₃)＋P(A₁)P(B₂)P(B₃)＝，

P(X＝4)＝P(A₁B₂A₃A₄)＋P(B₁A₂B₃B₄)

＝P(A₁)P(B₂)P(A₃)P(A₄)

＋P(B₁)P(A₂)P(B₃)·P(B₄)＝.

P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.

故X的分布列為

X	2	3	4	5
P