【題目】如圖，已知橢圓C：的左、右頂點分別為右焦點為，右準線l的方程為，過焦點F的直線與橢圓C相交于點A，B（不與點重合）.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當直線AB的傾斜角為45°時，求弦AB的長；

（3）設直線交l于點M，求證：B，，M三點共線.

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）由題意結合橢圓性質可得、，即可得解；

（2）由題意直線，設，，聯(lián)立方程組可得，，再利用弦長公式即可得解；

（3）設直線，，，易得，轉化結論為證明成立，聯(lián)立方程組即可得，，進而可得，即可得證.

（1）設橢圓C的焦距為2c．由題意得．

又右準線l的方程為，所以，

所以，，

所以橢圓的標準方程為，

（2）設，，

因為直線的傾斜角為且過點，

所以直線，

聯(lián)立，消去得，，

所以，，

所以；

（3）由題意可得，，

因為直線AB的斜率不為0，

所以設直線，，，

則直線，令，得，所以；

要證，，三點共線，只需證，

即證，即證；

聯(lián)立，消去x得，，

所以，，

所以，

所以，，三點共線．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：


3

2

4




0

4


（Ⅰ）求的標準方程；

（Ⅱ）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙、丙三人投籃的命中率各不相同，其中乙的命中率是甲的2倍，丙的命中率等于甲與乙的命中率之和.若甲與乙各投籃一次，每人投籃相互獨立，則他們都命中的概率為0.18.

（1）求甲、乙、丙三人投籃的命中率；

（2）現(xiàn)要求甲、乙、丙三人各投籃一次，假設每人投籃相互獨立，記三人命中總次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，的頂點，，且、、成等差數(shù)列.

（1）求的頂點的軌跡方程；

（2）直線與頂點的軌跡交于兩點，當線段的中點落在直線上時，試問：線段的垂直平分線是否恒過定點？若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】跨年迎新聯(lián)歡晚會簡稱跨年晚會，是指每年陽歷年末12月31日晚上各電視臺和政府為喜迎新而精心策劃的演唱會活動，跨年晚會首次出現(xiàn)在港臺地區(qū)，跨年晚會因形式和舉辦地不同因而名稱也不同，如央視啟航2020跨年盛典，湖南衛(wèi)視跨年演唱會，東方衛(wèi)視迎新晚會等.某電視臺為了了解2020年舉辦的跨年迎新晚會觀眾的滿意度，現(xiàn)分別隨機選出名觀眾對迎新晚會的質量評估評分，最高分為分，綜合得分情況如下表所示：

綜合得分

觀眾人數(shù)

5

10

25

30

15

10

5

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，繪制這位觀眾打分的頻率分布直方圖；

（2）已知觀眾的評分近似服從，其中是反應隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)，工作人員在分析數(shù)據(jù)時發(fā)現(xiàn)，可用位觀眾評分的平均數(shù)估計，但由于評分觀眾人數(shù)較少，誤差較大，所以不能直接用位觀眾評分的標準差的值估計，而在這位觀眾打分的頻率分布直方圖的基礎上依據(jù)來估計更科學合理，試求和的估計值（的結果精確到小數(shù)點后兩位）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早1000多年，在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du)；陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中，，.給出下列四個結論：

①四棱錐為陽馬；

②直線與平面所成角為；

③當時，異面直線與所成的角的余弦值為；

④當三棱錐體積最大時，四棱錐的外接球的表面積為.

其中，所有正確結論的序號是______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分.現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結果及對應的頻率分布直方圖如下：

等級

不合格

合格

得分

頻數(shù)

6

a

24

b

（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）其他條件不變在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；

（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談.現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為，曲線C的極坐標方程為．

（Ⅰ）求直線l和曲線C的直角坐標方程；

（Ⅱ）點M為曲線C上一點，求M到直線l的最小距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求a的值；

（2）在（1）的條件下，若，證明：；

（3）若，證明：.

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