Question

已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111721170150498389/SYS201411172117047706192227_ST/SYS201411172117047706192227_ST.001.png">的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

（1） 對(duì)任意的，總有；（2）；（3） 若，，且，則有成立，則稱為“友誼函數(shù)”，請(qǐng)解答下列各題：

（1）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

（2）函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.

（3）已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且， 求證：.

 

Answer 1

（1）（2）是友誼函數(shù)（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用賦值法由得，再由得，所以（2）分別驗(yàn)證（1）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在區(qū)間上的最小值為0，（2）直接帶入驗(yàn)證易得（3）利用做差法直接比較 （3） 先利用單調(diào)性的定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，然后再證明

取得， 又由，

得

（2）顯然在上滿足（1） ；（2）.（3）若，，且，則有

故滿足條件（1）、（2）、（3），所以為友誼函數(shù).

（3）由 （3）知任給其中，且有，不妨設(shè)

所以：.

下面證明：(i)若，則有或

若，則，這與矛盾；

（2）若，則，這與矛盾；

綜上所述：

考點(diǎn)：函數(shù)的概念與性質(zhì).