Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=1，記|$\overrightarrow{c}$|的最大值為M，最小值為m，則M+m=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|的值，再利用絕對值不等式求出|$\overrightarrow{c}$|的最大值與最小值．

解答 解：如圖所示，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=1，
∴OA=OB=AB=1，
∴OP=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{+\overrightarrow}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+2×1×1×cos\frac{π}{3}{+1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|-|$\overrightarrow{c}$|，
∴|$\overrightarrow{c}$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$-1；
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|≥|$\overrightarrow{c}$|-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，
∴|$\overrightarrow{c}$|≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=1+$\sqrt{3}$；
∴$\sqrt{3}$-1≤|$\overrightarrow{c}$|≤$\sqrt{3}$+1，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值為M=$\sqrt{3}$+1，最小值為m=$\sqrt{3}$-1，
∴M+m=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了絕對值不等式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．