Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，點E是棱PB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB
（Ⅱ）若PD=2，AB=$\sqrt{2}$，求直線AE和平面PDB所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）判斷AC⊥面PBD，再運用直線垂直直線，直線垂直平面問題證明．
（II）根據(jù)題意得出AC⊥面PBD，運用直線與平面所成的角得出∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角
利用直角三角形求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，AC⊥BD，
∵PD∩DB=D，
∴AC⊥面PBD，
∵PB?面PBD，
∴AC⊥PB．
（Ⅱ）連接EO，
∵點E是棱PB的中點，O為DB中點，
∴OE∥PD，
∵PD=2
∴OE=1
∵AC⊥面PBD，
∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角
∵底面ABCD是正方形，AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=2，AO=1，
∴Rt△AEO中∠AEO=45°
即直線AE和平面PDB所成的角45°

點評 本題考查了棱錐的幾何性質(zhì)，直線與平面角的概念及求解，考查學(xué)生的空間思維能力，運用平面問題解決空間問題的能力．