Question

10．如圖，在四棱柱P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=2，M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PMN⊥平面PAD
（2）求PM與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明MN⊥平面PAD，即可證明平面PMN⊥平面PAD
（2）過M作MO⊥平面PCD，連接PO，則∠MPO即為所求，利用V_M-PCD=V_P-MCD，求出OM，即可求PM與平面PCD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥MN，PA⊥AB，
∵M(jìn)、N分別為AD、BC中點(diǎn)，
∴AB∥MN，
∵AB⊥AD，AD∩MN=M，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB∥MN，
∴MN⊥平面PAD，
∵M(jìn)N?平面PMN，
∴平面PMN⊥平面PAD---------（5分）
（2）解：過M作MO⊥平面PCD，連接PO，則∠MPO即為所求．
∵V_M-PCD=V_P-MCD，
∴$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×OM$=$\frac{1}{2}×1×2×2$，
∴OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠MPO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$---------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面、直線與平面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．