【題目】如圖已知橢圓C： +y2=1，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0）．設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求 的最小值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：丨OR丨丨OS丨為定值．

【答案】
（1）解：依題意，得a=2，b=1，c= = ，T（﹣2，0）．

點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，

設(shè)M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨設(shè)y1＞0．

由于點(diǎn)M在橢圓C上，∴ =1﹣ ，（*）

=（x1+2，y1）， =（x1+2，﹣y1），

∴ =（x1+2）2﹣

= = ﹣ ，

由于﹣2＜x1＜2，

故當(dāng) 時， 取得最小值為﹣


（2）證明：設(shè)P（x0，y0），

則直線MP的方程為：y﹣y0= （x﹣x0），

令y=0，得xR= ，

同理：xS= ，

故xRxS= ，（**）

又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故 ， =4 ，

代入（**）式，得：xRxS= = =4．

∴丨OR丨丨OS丨=|xRxS|=4為定值


【解析】（1）T（﹣2，0）．點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M（x11），N（x1 ， ﹣y1），不妨設(shè)y1＞0．由于點(diǎn)M在橢圓C上， =1﹣ ，可得 = ﹣ ，由于﹣2＜x1＜2，可得 取得最小值．（2）設(shè)P（x0 ， y0），則直線MP的方程為：y﹣y0= （x﹣x0），令y=0，得xR= ，同理：xS= ，xRxS= ，又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故 ， =4 ，代入丨OR丨丨OS丨=|xRxS|，化簡即可證明．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)，.

（1）若，設(shè)，試證明存在唯一零點(diǎn)，并求的最大值；

（2）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： （）的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線方程為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線交橢圓于， 兩點(diǎn).

①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿足， .求證： 為定值；

②若（為原點(diǎn)），求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題，并判斷其真假：

(1)對任意x∈R，zx＞0(z>0)；

(2)對任意非零實(shí)數(shù)x1，x2，若x1＜x2，則；

(3)α∈R，使得sin(α＋)＝sin α；

(4)x∈R，使得x2＋1＝0.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求證：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是一個常數(shù)．

（1）求點(diǎn)的軌跡；

（2）若時得到的曲線是，將曲線向左平移一個單位長度后得到曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，過的直線分別交曲線于點(diǎn)，設(shè)， ， ，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣2f（ ）≤k恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（xt）=xt2+bxt ．
（1）若b=2，且xt=log2t，t∈[ ，2]，求f（xt）的最大值；
（2）當(dāng)y=f（xt）與y=f（f（xt））有相同的值域時，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于無窮數(shù)列，記，若數(shù)列滿足：“存在，使得只要（且），必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).

（Ⅰ）若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？

（Ⅱ）求證：“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件；

（Ⅲ）已知是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，求證：存在整數(shù)，使得是等差數(shù)列.

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