【題目】函數(shù),.
(1)若,設(shè),試證明存在唯一零點(diǎn),并求的最大值;
(2)若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,首先證明函數(shù)的單調(diào)性,再證明存在區(qū)間使 即證明;求函數(shù)的最大值,先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),并判斷零點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性,即可求得函數(shù)的最大值;(2)不等式等價于,然后參變分離為 ,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù) 以及函數(shù),根據(jù)所分析函數(shù)性質(zhì),當(dāng)時,只有2個正整數(shù)解,求的取值范圍.
試題解析:(1)證明:由題意知,
于是
令,,
∴在上單調(diào)遞減.
又,
所以存在,使得,
綜上存在唯一零點(diǎn).
解:當(dāng),于是,在單調(diào)遞增;
當(dāng),于是,在單調(diào)遞減;
故,
又,,,
故.
(2)解:等價于.
,
令,則,
令,則,即在上單調(diào)遞增.
又,
∴存在,使得.
∴當(dāng)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)在上單調(diào)遞減.
∵,,
且當(dāng)時,,
又,,
故要使不等式解集中有且只有兩個整數(shù),的取值范圍應(yīng)為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在銳角△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,且 a=2csinA
(1)確定角C的大。
(2)若c= ,且△ABC的面積為 ,求a+b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請你設(shè)計一個包裝盒.如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E、F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn).設(shè)AE=FB=x(cm).
(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?
(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)矩形ABCD(AB>AD)的周長為24,把△ABC沿AC向△ADC折疊,AB折過去后交DC于點(diǎn)P,設(shè)AB=x,求△ADP的最大面積及相應(yīng)x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如圖,其中,,,點(diǎn)是線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)試問在線段上是否存在點(diǎn),使得直線平面?若存在,請證明平面,并求出的值;若不存在,請說明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位名員工參加“我愛閱讀”活動,他們的年齡在25歲至50歲之間,按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(I)現(xiàn)要從年齡低于40歲的員工中用分層抽樣的方法抽取12人,則年齡在第組的員工人數(shù)分別是多少?
(II)為了交流讀書心得,現(xiàn)從上述人中再隨機(jī)抽取人發(fā)言,設(shè)人中年齡在的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望;
(III)為了估計該單位員工的閱讀傾向,現(xiàn)對從該單位所有員工中按性別比例抽取的40人做“是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍”進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:(單位:人)
喜歡閱讀國學(xué)類 | 不喜歡閱讀國學(xué)類 | 合計 | |
男 | 14 | 4 | 18 |
女 | 8 | 14 | 22 |
合計 | 22 | 18 | 40 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),我們能否有的把握認(rèn)為該單位員工是否喜歡閱讀國學(xué)類書籍和性別有關(guān)系?
附:,其中
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家具廠有方木料,五合板,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料,五合板,生產(chǎn)每個書櫥需要方木料,五合板,出售一張書桌可獲利潤元,出售一個書櫥可獲利潤元.
(1)如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤多少?
(2)如果只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤多少?
(3)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時, 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖已知橢圓C: +y2=1,以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0).設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.
(1)求 的最小值;
(2)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:丨OR丨丨OS丨為定值.
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