Question

（2009•金山區(qū)二模）等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，公差為2，在等比數(shù)列{b_n}中，當(dāng)n≥2時(shí)，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p為常數(shù)），
（1）求a_n和S_n；
（2）求b₁，p和b_n；
（3）若T_n=

Sn

bn

對(duì)于一切正整數(shù)n，均有T_n≤C恒成立，求C的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，可求出所求；
（2）根據(jù)b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p得到b₂+b₃+…+b_n+b_n+1=2ⁿ⁺¹+p，將兩式相減可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式以及b₁，p；
（3）若T_n=

Sn

bn

對(duì)于一切正整數(shù)n，均有T_n≤C恒成立，則需C大于或等于T_n的最大值，然后研究T_n的單調(diào)性可求出最大值，從而求出所求．

解答：解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，d=2
a_n=2n，（n∈N*）；S_n=n²+n；…（2分）
（2）由于當(dāng)n≥2時(shí)，b₂+b₃+…+b_n=2ⁿ+p（p為常數(shù)），
b₂+b₃+…+b_n+b_n+1=2ⁿ⁺¹+p
兩式相減得：b_n+1=2ⁿ，…（4分）
因?yàn)閿?shù)列{b_n}為等比數(shù)列，所以b₁=1，b₂=2，
由條件可得p=-2，b_n=2^n-1，（n∈N*）；…（7分）
（3）因?yàn)門_n=

n2+n

2n-1

，若T_n=

Sn

bn

對(duì)于一切正整數(shù)n，均有T_n≤C恒成立，
則需C大于或等于T_n的最大值，…（8分）

Tn+1

Tn

=

(n+1)(n+2)

2n

×

2n-1

n(n+1)

=

n+2

2n

，…（10分）
令

Tn+1

Tn

≥1得：n≤2，
即有：T₁=2≤T₂=3=T₃=3≥T₄=

5

2

≥T₅=

15

8

≥…≥T_n≥…，…（12分）
即數(shù)列{T_n}是先增后減的數(shù)列，且T_n的極限是0，
故有T_n的最大值為T₂=T₃=3，…（14分）
又對(duì)于一切正整數(shù)n，均有T_n≤C恒成立，∴C≥3，即C的最小值為3．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，以及恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，屬于中檔題．