設f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù),其導函數(shù)為f′(x).如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x),其中h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數(shù)f(x)具有性質P(a),設函數(shù)f(x)=lnx+
b+2x+1
(x>1)
,其中b為實數(shù).
(1)①求證:函數(shù)f(x)具有性質P(b);
②求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.
(2)已知函數(shù)g(x)具有性質P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,設m為實數(shù),α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范圍.
分析:(1)①先求出函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x),然后將其配湊成f′(x)=h(x)(x2-bx+1)這種形式,再說明h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,即可證明函數(shù)f(x)具有性質P(b);
②根據(jù)第一問令φ(x)=x2-bx+1,討論對稱軸與2的大小,當b≤2時,對于x>1,φ(x)>0,所以f′(x)>0,可得f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調性,當b>2時,φ(x)圖象開口向上,對稱軸x=
b
2
>1
,可求出方程φ(x)=0的兩根,判定兩根的范圍,從而確定φ(x)的符號,得到f′(x)的符號,最終求出單調區(qū)間.
(2)先對函數(shù)g(x)求導,再m分m≤0,m≥1,0<m<1進行,同時運用函數(shù)的單調性即可得到.
解答:解:(1)①f′(x)=
1
x
-
b+2
(x+1)2
=
1
x(x+1)2
(x2-bx+1)

∵x>1時,h(x)=
1
x(x+1)2
>0
恒成立,
∴函數(shù)f(x)具有性質P(b);
②當b≤2時,對于x>1,φ(x)=x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0
所以f′(x)>0,故此時f(x)在區(qū)間(1,+∞)上遞增;
當b>2時,φ(x)圖象開口向上,對稱軸x=
b
2
>1
,
方程φ(x)=0的兩根為:
b+
b2-4
2
,
b-
b2-4
2
,而
b+
b2-4
2
>1,
b-
b2-4
2
=
2
b+
b2-4
∈(0,1)

x∈(1,
b+
b2-4
2
)
時,φ(x)<0,f′(x)<0,
故此時f(x)在區(qū)間(1,
b+
b2-4
2
)
上遞減;
同理得:f(x)在區(qū)間[
b+
b2-4
2
,+∞)
上遞增.
綜上所述,當b≤2時,f(x)在區(qū)間(1,+∞)上遞增;
當b>2時,f(x)在(1,
b+
b2-4
2
)
上遞減;f(x)在[
b+
b2-4
2
,+∞)
上遞增.
(2)由題設知:g(x)的導函數(shù)g′(x)=h(x)(x2-2x+1),其中函數(shù)h(x)>0對于任意的x∈(1,+∞)都成立,所以,
當x>1時,g′(x)=h(x)(x-1)2>0,
從而g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增.
①當m∈(0,1)時,有α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1,α<mx2+(1-m)x2=x2,得
α∈(x1,x2),同理可得β∈(x1,x2),
所以由g(x)的單調性質g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2)),
從而有|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,符合題設;
②當m≤0時,α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2,β=mx2+(1-m)x1≤mx1+(1-m)x1=x1
于是由α>1,β>1及g(x)的單調性知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α),所以|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,與題設不符.
③當m≥1時,同理可得α≤x1,β≥x2,進而得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,與題設不符
因此,綜合①、②、③得所求的m的取值范圍為(0,1).
點評:本題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象及導數(shù)等基礎知識,考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.
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2
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b+2x+1
(x>1)
,其中b為實數(shù).
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π
2
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π
2
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6
6

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1
2
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2
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1
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