Question

15．已知$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos²x），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-1）．函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應的x的值．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積的坐標表示列式，利用二倍角公式降冪后結(jié)合兩角差的正弦化簡，則周期可求，再由復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出相位的范圍，從而求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值及相應的x的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos²x），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-1）．
∴f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}sinxcosx-co{s}^{2}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
∴當2x$-\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$，即x=0時，函數(shù)f（x）有最小值為-1；
當2x$-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）有最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓練了三角函數(shù)中恒等變換的應用，是中檔題．