Question

10．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1．
（1）若b=a+1，且對(duì)任意a∈[-1，1]時(shí)都有f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若對(duì)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有兩個(gè)不等實(shí)根，證明必有一根屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析 （1）若b=a+1，則函數(shù)f（x）=ax²+（a+1）x+1=（x²+x）a+x+1≥0對(duì)任意a∈[-1，1]都成立，則$\left\{\begin{array}{l}-{（x}^{2}+x）+x+1≥0\\{（x}^{2}+x）+x+1≥0\end{array}\right.$，解得答案；
（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁ ）+f（x₂）]，證明g（x₁）•g（x₂）＜0，可得g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)必有一實(shí)根，問題得證

解答 解：（1）若b=a+1，則函數(shù)f（x）=ax²+（a+1）x+1=（x²+x）a+x+1≥0對(duì)任意a∈[-1，1]都成立，
則$\left\{\begin{array}{l}-{（x}^{2}+x）+x+1≥0\\{（x}^{2}+x）+x+1≥0\end{array}\right.$，解得：x∈[-1，1]；
證明：（2）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，
則g（x₁）=f（x₁）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，
g（x₂）=f（x₂）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=-$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]，
∴g（x₁）•g（x₂）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）-f（x₂）]•（-$\frac{1}{2}$）[f（x₁）-f（x₂）]=-$\frac{1}{4}$[f（x₁）-f（x₂）]²．
∵f（x₁）≠f（x₂），
∴g（x₁）•g（x₂）＜0．
∴g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)必有一實(shí)根．
∴方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]在（x₁，x₂）內(nèi)必有一實(shí)根．
再由 g（x₁）•g（x₂）＜0可得二次函數(shù)g（x）的函數(shù)值可正可負(fù)，
故函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的圖象與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)，
故方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有兩個(gè)不等實(shí)根．
綜上可得，方程f（x）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]有兩個(gè)不等實(shí)根，且必有一實(shí)根屬于（x₁，x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．