【題目】已知函數(shù)f(x)=.(a>0)

(1)若a=1,證明:y=f(x)在R上單調(diào)遞減;

(2)當(dāng)a>1時(shí),討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)證明:當(dāng)x≥1時(shí),f′(x)=-1≤0,f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,f(x)≤f(1)=0;

當(dāng)x<1時(shí),f′(x)=ex-1-1<0,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,且此時(shí)f(x)>0.

所以y=f(x)在R上單調(diào)遞減.

(2)若x≥a,則f′(x)=-a≤-a<0(a>1),

所以此時(shí)f(x)單調(diào)遞減,令g(a)=f(a)=ln a-a2+1,

則g′(a)=2a<0,所以f(a)=g(a)<g(1)=0,

即f(x)≤f(a)<0,故f(x)在[a,+∞)上無(wú)零點(diǎn).

當(dāng)x<a時(shí),f′(x)=ex-1+a-2,

①當(dāng)a>2時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

又f(0)=e-1>0,f<0,所以此時(shí)f(x)在上有一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)a=2時(shí),f(x)=ex-1,此時(shí)f(x)在(-∞,2)上沒(méi)有零點(diǎn).

③當(dāng)1<a<2時(shí),令f′(x0)=0,解得x0=ln(2-a)+1<1<a,所以f(x)在(-∞,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,a)上單調(diào)遞增.

f(x0)=e+(a-2)x0=e (1-x0)>0,

所以此時(shí)f(x)沒(méi)有零點(diǎn).

綜上,當(dāng)1<a≤2時(shí),f(x)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)a>2時(shí),f(x)有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】(本小題滿分12分)如圖,曲線由上半橢圓和部分拋物線 連接而成, 的公共點(diǎn)為,其中的離心率為.

)求的值;

)過(guò)點(diǎn)的直線分別交于(均異于點(diǎn)),若,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù),在下列條件下,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(1)零點(diǎn)均大于;

(2)一個(gè)零點(diǎn)大于,一個(gè)零點(diǎn)小于;

(3)一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi).

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【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)的最小值為,求的值;

(2)證明: .

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;

2設(shè)點(diǎn)上,點(diǎn)上,求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).現(xiàn)提供的大致圖像的8個(gè)選項(xiàng):

(A)(B)(C)(D)

(E)(F)(G)(H)

Ⅰ)請(qǐng)你作出選擇,你選的是( );

Ⅱ)對(duì)于函數(shù)圖像的判斷,往往只需了解函數(shù)的基本性質(zhì).為了驗(yàn)證你的選擇的正確性,請(qǐng)你解決下列問(wèn)題:

的定義域是 ;

②就奇偶性而言, ;

③當(dāng)時(shí), 的符號(hào)為正還是負(fù)?并證明你的結(jié)論.

(解決了上述三個(gè)問(wèn)題,你要調(diào)整你的選項(xiàng),還來(lái)得及.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足,且函數(shù)的最小值為2

1)求函數(shù)的解析式;

2)設(shè)函數(shù),其中,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;

3若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某工科院校對(duì)A,B兩個(gè)專(zhuān)業(yè)的男女生人數(shù)進(jìn)行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:


專(zhuān)業(yè)A

專(zhuān)業(yè)B

總計(jì)

女生

12

4

16

男生

38

46

84

總計(jì)

50

50

100

(1)B專(zhuān)業(yè)的女生中隨機(jī)抽取2名女生參加某項(xiàng)活動(dòng),其中女生甲被選到的概率是多少?

(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為工科院校中性別專(zhuān)業(yè)有關(guān)系呢?

注:K2

P(K2k0)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

k0

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:

上年度出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費(fèi)

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表:

出險(xiǎn)次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”,求P(A)的估計(jì)值;

(2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”,求P(B)的估計(jì)值;

(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值.

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