Question

如圖1-2-9所示是某防空部隊(duì)進(jìn)行射擊訓(xùn)練時(shí)的示意圖，以O(shè)為極點(diǎn)，OA所在直線為極軸，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)（千米），直升飛機(jī)位于D點(diǎn)向目標(biāo)C發(fā)射防空導(dǎo)彈，D點(diǎn)坐標(biāo)為(,)，該導(dǎo)彈運(yùn)行與地面最大高度為3千米，相應(yīng)水平距離為4千米(即圖中E點(diǎn))，在地面O、A兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得空中固定目標(biāo)C的仰角分別為α和β，tanα=，tanβ=，不考慮空氣阻力，導(dǎo)彈飛行軌道為一拋物線，那么按軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C?說(shuō)明理由.

圖1-2-9

Answer 1

思路分析：能否擊中C點(diǎn)，關(guān)鍵是看一下C點(diǎn)是否在導(dǎo)彈飛行的軌跡上，需要算出它的軌跡方程來(lái).先把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，然后建立直角坐標(biāo)系：以地面為x軸，以點(diǎn)D向地面作的垂線為y軸,并且求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證該點(diǎn)是否滿足軌跡方程.

解：A點(diǎn)化為(1,0)，D點(diǎn)化為(0,)，由已知E點(diǎn)為(4,3),

設(shè)拋物線為y=a(x-4)²+3.由拋物線過(guò)點(diǎn)(0,)，求得a=.所以y=(x-4)²+3=x²+x+.

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x₀,y₀)，過(guò)C作CB⊥Ox于B，tanα=,tanβ=,則x₀=(x₀-1).

解得x₀＝7，求出y₀＝,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(7,)，經(jīng)計(jì)算x₀²+x₀+=·7²+·7+=.

所以C點(diǎn)在拋物線上.故依軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈可以擊中目標(biāo)C.