Question

甲、乙兩大超市同時(shí)開(kāi)業(yè)，第一年的全年銷(xiāo)售額均為a萬(wàn)元，由于經(jīng)營(yíng)方式不同，甲超市前n年的總銷(xiāo)售額為(n2－n＋2)萬(wàn)元，乙超市第n年的銷(xiāo)售額比前一年銷(xiāo)售額多a萬(wàn)元．

(1)設(shè)甲、乙兩超市第n年的銷(xiāo)售額分別為an、bn,求an、bn的表達(dá)式；

(2)若其中某一超市的年銷(xiāo)售額不足另一超市的年銷(xiāo)售額的50%，則該超市將被另一超市收購(gòu)，判斷哪一超市有可能被收購(gòu)？如果有這種情況，將會(huì)出現(xiàn)在第幾年？

 

Answer 1

（1）an＝bn＝a(n∈N*)（2）第7年乙超市的年銷(xiāo)售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購(gòu)

【解析】(1)假設(shè)甲超市前n年總銷(xiāo)售額為Sn，則Sn＝(n2－n＋2)(n≥2)，因?yàn)?/span>n＝1時(shí)，a1＝a，則n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝a(n－1)，故an＝又b1＝a，n≥2時(shí)，bn－bn－1＝a，故bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝a＋a＋a＋…＋a＝a＝a＝a，顯然n＝1也適合，故bn＝a(n∈N*)．

(2)當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝a，b2＝a，有a2>b2；n＝3時(shí)，a3＝2a，b3＝a，有a3>b3；當(dāng)n≥4時(shí)，an≥3a，而bn<3a，故乙超市有可能被甲超市收購(gòu)．

當(dāng)n≥4時(shí)，令an>bn，則 (n－1)a>a

n－1>6－4·.即n>7－4·.又當(dāng)n≥7時(shí)，0<4·<1，

故當(dāng)n∈N*且n≥7時(shí)，必有n>7－4·.

即第7年乙超市的年銷(xiāo)售額不足甲超市的一半，乙超市將被甲超市收購(gòu)．