Question

（1）函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lg（x+1）+x²，當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)求f（x） 的表達(dá)式；
（2）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有f(x)-g(x)=(

1

2

)x，試比較f（1），g（0），g（-2）的大�。�

Answer 1

分析：（1）由已知條件，要求x為實(shí)數(shù)時(shí)f（x） 的表達(dá)式，只須求出x≤0時(shí)的表達(dá)式，由奇函數(shù)的性質(zhì)易得當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，f（-x）=-f（x），逐步轉(zhuǎn)化即可求解．
（2）根據(jù)奇偶性的定義，將-x代入已知解析式，整理可得f（x）與g（x）的又一關(guān)系式，兩者聯(lián)立，解方程組，即可求得f（x）與g（x）的解析式，故f（1），g（0），g（-2）的值可求，進(jìn)而比較其大小．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0；
設(shè)x＜0，則-x＞0，且滿足表達(dá)式f（x）=lg（x+1）+x²，
∴f（-x）=lg（-x+1）+（-x）²=lg（-x+1）+x²，
又∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=lg（-x+1）+x²，
即f（x）=-lg（-x+1）-x²，
故當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)f（x）的表達(dá)式為f（x）=

lg(x+1)+x2，x＞0 0，x=0 -lg(-x+1)-x2，x＜0

．
（2）將-x代入f(x)-g(x)=(

1

2

)x①，得f（-x）-g（-x）=（

1

2

）^-x=2^x，
∵f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
∴f（x）+g（x）=2^x，②
①②聯(lián)立，解得f（x）=

2x+( 1 2 )x

2

，g（x）=

2x-( 1 2 )x

2

，
∴f（1）=

5

4

，g（0）=0，g（-2）=-

15

8

，
故f（1）＞g（0）＞g（-2）．

點(diǎn)評：（1）利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)某一部分的表達(dá)式的步驟：（1）在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)在那個(gè)區(qū)間里；（2）利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入；（3）利用f（x）的奇偶性把f（-x）寫成-f（x）或f（x），從而解出f（x）．
（2）解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義，將-x代入原式進(jìn)行化簡，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查了學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯推理能力．