Question

10．已知函數(shù)f（x）=log₂（|x-1|+|x-5|-a）．
（Ⅰ）當a=5時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）當函數(shù)f（x）的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，通過討論x的范圍，求出不等式的解集，從而求出函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，通過絕對值的幾何意義求出（|x-1|+|x-5|）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=5時，要使函數(shù)f（x）有意義，
有不等式|x-1|+|x-5|-5＞0成立，-①，
當x≤1時，不等式①等價于-2x+1＞0，即x＜$\frac{1}{2}$，∴x＜$\frac{1}{2}$；
當1＜x≤5時，不等式①等價于-1＞0，即x∈∅，∴x∈∅；
當x＞5時，不等式①等價于2x-11＞0，即x＞$\frac{11}{2}$，∴x＞$\frac{11}{2}$；
綜上函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{11}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域為R，∴不等式|x-1|+|x-5|-a＞0恒成立，
∴只要a＜（|x-1|+|x-5|）_min即可，
又∵|x-1|+|x-5|≥4（x=1或x=5時取等號），
即a＜（|x-1|+|x-5|）_min=4，∴a＜4．
∴a的取值范圍是（-∞，4）．

點評 本題考查絕對值不等式解法、最值求解等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力及運算求解能力．